2015학년도 3월 ~ 2016학년도 4월 전국연합학력평가 주요문제모음

2015학년도 3월 ~ 2016학년도 4월 전국연합학력평가 주요문제모음

[집합과 명제]

실수 전체의 집합 의 두 부분집합 , 에 대하여

이다. 두 집합 , 가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 의 값을 구하시오. [4점]

(가) 집합 의 모든 원소의 합은 이다. (나) 집합 의 모든 원소의 합은 이다. (다)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 집합

은 자연수 , 은 자연수

에 대하여 집합 의 모든 원소를 작은 수부터 순서대로 모두 나열하여 만든 수열을 이라 하자. 의 값을 구하시오.

[4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 집합

는 이하의 자연수

는 과 서로소인 자연수

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오.

[4점]

(가) , (나) (다)집합 의 모든 원소는 와 서로소이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

집합 는 이하의 자연수 의 원소 에 대하여 의 부분집합 중 을 최소의 원소로 갖는 모든 집합의 개수를 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		<보 기>
	ㄱ. ㄴ. , 일 때, 이면 ㄷ.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 집합 , 에 대하여 집합 라 할 때, 이 되도록 하는 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 집합 , 에 대하여 집합 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) (나) (다)집합 의 모든 원소의 합은 이다.

집합 의 모든 원소의 곱을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 19번

전체집합 는 이하의 자연수 의 세 부분집합 , , 에 대하여 이고 이다. , , 일 때, 집합 는? [4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

전체집합 가 실수 전체의 집합일 때, 실수 에 대한 두 조건 , 가

,

이다. 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, , 는 실수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 일 때, 이다. ㄴ. , 일 때, 이다. ㄷ. , 일 때, 명제 ‘ 이면 이다.’는 참이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. ㄴ. 또는 ㄷ.

 

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

전체집합 에 대하여 조건 ‘ ’의 진리집합을 , 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자. 두 명제 와 가 모두 참일 때, 두 집합 , 의 순서쌍 의 개수를 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[산술ㆍ기하평균]

, 일 때, 의 최솟값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

두 양수 , 에 대하여 한 변의 길이가 인 정사각형 의 네 변 , , , 를 각각 로 내분하는 점을 , , , 라 하고, 선분 의 중점을 이라 하자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. ㄴ. ㄷ. 일 때, 삼각형 의 넓이의 최댓값은 이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 27번

좌표평면 위에함수 의 그래프와 직선 가 있다.함수 의 그래프 위의 점 를 지나고 축에 수직인 직선이 직선 와 만나는 점을 , 점 를 지나고 축에 수직인 직선이 와 만나는 점을 라 할 때, 선분 와선분 의 길이의 곱 의 최솟값을 구하시오.[4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[여러 가지 함수]

정의역이 인 두 함수 , 는 일대일 대응이고 그래프는 그림과 같다.

등식 를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍 의 개수는? (단, 두 함수의 그래프는 각각 세 선분으로 되어 있다.) [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

집합 에 대하여 에서 로의 함수 가

 

이고, 함수 의 역함수 가 존재한다.

, ( )라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) (나)이차방정식 의 실근의 개수는 이다.

방정식 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은?

[4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 함수 , 에 대하여 합성함수 의 치역이 일 때, 상수 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 집합 , 에 대하여 두 함수 , 가

를 로 나눈 나머지

이다. 합성함수 의 치역의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은? [3점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 17번

집합 의 모든 원소 에 대하여 에서 로의 함수 는 ‘ 를 로 나눈 나머지’로 정의하고, 에서 로의 함수 는 를 만족시킨다. 일 때, 의 값은?[4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[유ㆍ무리함수]

함수 의 그래프와 직선 이 두 점 , 에서 만난다. 그림과 같이 주어진 함수 의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, 는 원점이다.) [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림과 같이 점 와 곡선 위의 두 점 , 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)점 와 점 는 직선 에 대하여 대칭이다. (나)삼각형 의 넓이는 이다.

점 의 좌표를 라 할 때, 의 값은? (단, )

[4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 인 등변사다리꼴 에서 선분 위를 움직이는 점을 , 직선 와 직선 의 교점을 라 하자. 점 와 점 사이의 거리를 , 점 와 점 사이의 거리를 라 할 때, 함수 의 그래프의 모양으로 알맞은 것은? [4점]

 

 

①		②
③		④
⑤

 

 

 

 

두 함수 , 에 대하여 , 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 정수 의 개수는? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 나형 15번

좌표평면에서 곡선 이 두 직선 , 와 만나는 점을 각각 , 라 할 때, 삼각형 의 넓이는? (단, 는 원점이다.) [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

무리함수 에 대하여 좌표평면에 곡선 와 세 점 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 가 있다. 곡선 와 함수 의 역함수의 그래프가 삼각형 와 만나도록 하는 실수 의 최댓값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

유리함수 와 수열 에 대하여 이다. 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[수열의 합]

두 수열 , 이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. 의 값을 구하시오. [4점]

(가) (나)

 

 

 

 

 

 

 

그림과 같이 이상의 자연수 에 대하여 곡선 과 직선 가 두 점 , 에서 만난다. 두 물음에 답하시오. (단, 는 원점이다.)

일 때, 선분 의 길이는? [3점]

①　 ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 직선 , 의 기울기를 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

자연수 에 대하여 직선 이 무리함수 의 그래프와 만나는 점을 , 축과 만나는 점을 이라 하자. (단, 는 원점이다.) 두 물음에 답하시오.

삼각형 의 넓이는? [3점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

선분 의 길이보다 크지 않은 최대의 정수를 이라 할 때, 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

수열 을 다음과 같이 정의하자.

집합 에 대하여 이면 이고, 이면 이다.

을 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이차함수 가 모든 실수 에 대하여

를 만족시킨다. 모든 자연수 에 대하여 이 공차가 인 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합과 같을 때, 이 성립하도록 하는 의

최댓값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

첫째항이 이고 공차가 양수인 등차수열 에 대하여 이차방정식 의 서로 다른 두 실근을 , 이라 하자. 일 때, 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선 , 과 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

자연수 에 대하여 을 만족시키는 자연수 을 이라 하자. 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 29번

그림과 같이 자연수 에 대하여 기울기가 이고 절편이 양수인직선이 원 에 접할 때, 이 직선이 축, 축과 만나는점을 각각 , 이라 하자. 점 을 지나고 기울기가 인 직선이 축과 만나는 점을 이라 할 때, 삼각형 과 그 내부의 점들 중 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[수학적귀납법]

2015년 3월 교육청

수열 은 이고

㉠

을 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 에 대하여

㉡

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) 일 때, (좌변) , (우변) 따라서 ㉡이 성립한다. (ⅱ) 일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면 이다. ㉠에서 이다. 따라서 일 때도 ㉡이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ㉡이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

다음은 모든 자연수 에 대하여

(*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.

<증명> (1) 일 때, 이고, 이므로 (*)이 성립한다. (2) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 이다. 일 때, (*)이 성립함을 보이자. 그러므로 일 때도 (*)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 18번

다음은 모든 자연수 에 대하여

(*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) 일 때, (좌변) , (우변) 이므로 (*)이 성립한다. (2) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 이다. 위 등식의 양변에 을 더하여 정리하면 따라서 일 때도 (*)이 성립한다.(1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때,

의 값은?[4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

다음은 수열 의 일반항 이 일 때,

인 모든 자연수 에 대하여 등식

(★)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

	(ⅰ) 일 때, (좌변) , (우변) 이므로 (★)이 성립한다.   (ⅱ) 일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 이므로 이다. 따라서 일 때도 (★)이 성립한다.   그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 인 모든 자연수 에 대하여 이 성립한다.

 

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 나형 16번

수열 에서 일반항 일 때, 인 모든 자연수 에 대하여

(*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) 일 때, (*)에서 (좌변) (우변) (좌변) (우변)이므로 (*)이 성립한다. (2) ( )일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 이다. 일 때, (*)이 성립함을 보이자. 따라서 일 때도 (*)이 성립한다. (1), (2)에 의하여 인 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

다음은 모든 자연수 에 대하여 …… (*)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) 일 때, (좌변) (우변) 따라서 (*)이 성립한다. (ⅱ) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 이다. 따라서 일 때도 (*)이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[지수ㆍ로그]

2016 4월 고3 나형 9번

의 네제곱근 중 실수인 것을 , 의 세제곱근 중 실수인 것을 라 할 때, 의 최댓값은? [3점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이상 이하의 자연수 에 대하여 집합

의 원소 중 유리수의 개수를 이라 하자. 예를 들어 , 이다. 가 되는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 양수 , 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 이고 단면적이 인 구형 물체의 종단속력 (m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

(단, 는 끌림 계수, 는 공기 밀도, 는 중력가속도이며, 질량 단위는 , 단면적 단위는 이다.)

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 와 에 작용하는 끌림 계수( ), 공기 밀도( ), 중력가속도( )가 서로 같다. 두 물체 와 의 질량의 비는 이고 단면적의 비는 일 때, 두 물체 , 의 종단속력을 각각 , 라 하자. 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

통신 이론에서 가용 대역폭을 ( ), 수신 신호 전력을 ( ), 잡음 전력을 ( )이라고 할 때, 채널 용량 ( )는 다음과 같은 관계식을 만족시킨다고 한다.

가용 대역폭이 일정하고, 수신 신호 전력이 일 때, 잡음 전력을 에서 ( )로 변경하였더니 채널 용량이 배가 되었다. 상수 의 값이 일 때, 의 값을 구하시오.

(단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

 

 

 

 

 

 

[수열의 극한]

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형을 [도형 ]이라 하자. [도형 ]의 아랫변에 가로의 길이 , 세로의 길이 인 직사각형을 한 직선에 대해 대칭이 되도록 이어 붙여 만든 도형을 [도형 ]라 하자. 이때 한 직선은 [도형 ]의 가장 긴 변의 중점을 지난다. 이와 같은 방법으로 이상의 자연수 에 대하여 [도형 ]의 아랫변에 가로의 길이 , 세로의 길이 인 직사각형을 이어 붙여 만든 도형을 [도형 ]이라 하자.

[도형 1]	[도형 2]		[도형 ]

 

자연수 에 대하여 [도형 ]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원의 넓이를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

자연수 에 대하여 직선 이 두 곡선 , 와 만나는 점을 각각 , 이라 하고 삼각형 의 넓이를 이라 하자.

일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.) [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

좌표평면에서 자연수 에 대하여 원 과 곡선 이 만나는 두 점 사이의 거리를 , 원의 지름의 길이를 이라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

자연수 에 대하여 좌표가 인 점을 , 함수 이라 하자. 점 을 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 와 만나는 점을 이라하자.

곡선 위의 점 은 직선 의 기울기가 음수이고 좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이가 최대일 때 삼각형 의 넓이를 이라 하자. 의 값은? (단, 는 원점이다.) [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

자연수 에 대하여 곡선 와 직선 이 만나는 두 점을 각각 , 이라 하자. 삼각형 의 무게중심의 좌표를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 원점이다.) [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 15번

그림과 같이 자연수 에 대하여 곡선 위의 점 을 지나고 기울기가 인 직선이 축과 만나는 점을 이라할 때, 의 값은? (단, 는 원점이다.)[4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 21번

자연수 에 대하여 집합 는 이하의 자연수 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 이라 하자. 의 값은? [4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[급수]

수열 이 을 만족시킬 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

수열 에 대하여 집합 가 공집합이 되도록 하는 자연수 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, 번째 수를 이라 하자. 예를 들어, 은 를 만족시키는 자연수 가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 이다. 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 가형 14번

자연수 에 대하여 직선 와 함수 의 그래프가 만나는 점의 개수를 이라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 가형 26번

수열 에 대하여 이 수렴할 때, 의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[등비급수]

2015 11월 고2 나형 8번

등비급수 이 수렴하도록 하는 정수 의 개수는? [3점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림과 같이 반지름의 길이가 인 원을 부채꼴로 등분하여 각각의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 개의 원에 의해 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 합동인 개의 원 안에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 개의 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, 이다. 의 값은? (단, , 는 유리수이다.) [4점]

…

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

한 변의 길이가 인 정사각형 이 있다. 그림과 같이 선분 과 선분 을 로 내분하는 점을 각각 이라 하고 선분 과 선분 의 교점을 이라 할 때, 선분 , 선분 , 선분 , 선분 , 선분 로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 선분 위의 점 , 선분 위의 점 와 선분 위의 두 점 , 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 를 그리고, 정사각형 에 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육각형 이 있다. 정육각형 의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 정육각형 의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 라 하자. 정육각형 의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 새로 그려진 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 그림 에 정육각형 의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 이라 하자. 정육각형 의각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 새로 그려진 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, 이다. 의 값은? (단, , 은 유리수이다.) [4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

한 변의 길이가 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 인 두 원이 서로 한 점 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 이라 하고, 선분 을 대각선으로 하는 정사각형 을 그린다. 이때, 의 한 변의 길이를 이라 하자. 지름이 인 두 원이 서로 한 점 에서 만나고 정사각형 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 라 하고, 선분 를 대각선으로 하는 정사각형 를 그린다. 이때, 의 한 변의 길이를 라 하자. 지름이 인 두 원이 서로 한 점 에서 만나고 정사각형 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 이라 하고, 선분 을 대각선으로 하는 정사각형 을 그린다. 이때, 의 한 변의 길이를 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 그린 정사각형 의 한 변의 길이를 이라 할 때, 의 값은? [4점]

	…

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에 내접하는 원 이있다. 정사각형과 원 의 접점을 각각 , , , 이라 할 때, 원 과 두 선분 , 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 두 선분 , 을 각각 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 라 하고 그 접점을 각각 , , , 라 할 때, 원 와 두 선분 , 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 그림 에서 두 선분 , 를 각각 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 에서 그림 를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는부분의 넓이를 이라 할 때, 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[함수의 극한]

 

2015 6월 고2 나형 18번

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 양수 에 대하여 점 과 원의 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중에서 점 에 가까운 점을 , 나머지 한 점을 라 하자. 의 값은? (단, 는 원점이다.) [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 가형 10번

그림과 같이 두 곡선 , 이직선 ( )와 만나는 점을 각각 , 라 하고,직선 가 축과 만나는 점을 라 하자.원점 에 대하여 두 삼각형 , 의 넓이를 각각 , 라 할 때, 의 값은? [3점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 13~14번

세 함수 , , 의 그래프가 그림과 같다. 다음 두 물음에 답하시오.

 

함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 두 상수 , 의 합 의 값은?

[3점]

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

함수 의 그래프 위의 점 를 지나고 축에 평행한 직선이 함수 의 그래프와 만나는 점을 ,함수 의 그래프와 만나는 점을 라 하자. 점 를 지나고 축에 평행한 직선이 함수 의 그래프와만나는 점을 라 할 때, 의 값은? (단, )[4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

[함수의 연속]

2015 6월 고2 나형 15번

함수

의 그래프가 그림과 같다.

함수 에 대하여 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [4점]

 

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

2015 6월 고2 나형 19번

양수 에 대하여 함수 의 그래프와 원 이 만나는

점의 개수를 라 하자. 함수 가 불연속인 점의 개수는? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 가형 17번

함수 의 그래프가 그림과 같다.

 

함수 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. ㄴ. ㄷ. 열린 구간 에서 함수 가 불연속인 점은 개다.

 

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 나형 30번

삼차함수 와 실수 에 대하여 곡선 와 직선 가 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함수 , 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 는 , 에서 불연속이다. (나) 함수 는 모든 실수에서 연속이다. (다)

의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 30번

함수 에 대하여 함수 를

라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오.[4점]

(가) 방정식 은 열린 구간 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (나) 함수 는 에서 연속이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[미분법]

 

2015 11월 고2 가형 15번

곡선 가 직선 에 접하도록 하는 상수 의 값은? [4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 가형 20번

 

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 의 도함수 의 그래프가 그림과 같다.

양수 에 대하여 이고 이다. 함수 를 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 함수 는 에서 극소이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. ㄴ. 함수 는 열린 구간 에서 감소한다. ㄷ. 방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

 

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015 11월 고2 나형 9번

수직선 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치 가 일 때, 점 가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 시각 의 값은? [3점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

[순열과 조합]

자연수 에 대하여 일 때, 을 만족시키는 의 최솟값은? (단, 로 계산한다.) [3점]

①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 시트지 장, 빗변의 길이가 인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색은 모두 서로 다르다. [그림1]과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있는 집이 있다. [그림2]는 이 집의 창문 네 개에 장의 시트지를 빈틈없이 붙인 경우의 예이다. 이 집의 창문 네 개에 시트지 장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있다.) [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 10번

할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 명의 가족이 있다. 이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 개의 의자에 모두 앉을 때,아버지, 어머니가 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는?

[3점]

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 장의 카드 중에서 동시에 장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

원소의 개수가 인 집합을 공집합이 아닌 개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 구하시오. [3점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

집합 에 대하여 에서 로의 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 의 모든 원소 에 대하여 이다. (나) 이면 이다.

함수 의 개수를 구하시오. [4점]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

다음 조건을 만족시키는 자연수 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 은 이상 이하의 홀수이다. (나) 의 각 자리 수의 합은 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 나형 28번

다음 조건을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오.[4점]

(가) (나) , , , 중에서 개는 으로 나눈 나머지가 이고, 개는 으로 나눈 나머지가 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[확률]

 

2016 4월 고3 가형 5번

두 사건 , 에 대하여 , 일 때, 의 값은? (단, 은 의 여사건이다.) [3점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 가형 15번

부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때,짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)[4점]

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 가형 20번

주머니에 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수 중 연속된 자연수의 최대 개수가 인 사건을 라 하자. 예를 들어 은 연속된 자연수의 최대 개수가 이므로 사건 에 속하고, 은 연속된 자연수의 최대 개수가 이므로 사건 에 속하지 않는다. 사건 가 일어날 확률은? [4점]

 

 

① ② ③

④ ⑤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2016 4월 고3 가형 23번

두 사건 , 가 서로 배반사건이고

 

,

일 때, 의 값은 이다. 의 값을 구하시오.[3점]