2015학년도 3월 고2 수학 가형 모의고사 전국연합학력평가 문제지 해설지

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1 12 2015학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. 두 다항식     ,     에 대하여  는? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.    ×  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 이차방정식     의 두 근의 곱은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. log log   log 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 두 집합     ,    에 대하여    일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 모든 실수 에 대하여 등식      가 성립할 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   의 역함수를 라 할 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 두 점 A   , B    에 대하여 선분 AB 를   으로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 9. 실수 에 대하여 두 조건  , 가 다음과 같다.          ≥ 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 두 집합      ,      에 대하여 함수 는 에서 로의 일대일 대응이다.    ,    일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나) 이차부등식   의 해는 ≠인 모든 실수이다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 에 대한 삼차방정식      이 한 실근과 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 그림과 같이  이상의 자연수 에 대하여 곡선    와 직선   가 두 점 A , B 에서 만난다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, O 는 원점이다.) 13.  일 때, 선분 AB의 길이는? [3점] ①　 ②  ③  ④  ⑤  14. 두 직선 OA , OB 의 기울기를 각각  ,  이라 할 때,       의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 다항식  를 로 나누었을 때의 몫이 , 나머지는 이고, 다항식 를 로 나누었을 때의 나머지는 이다.  를 로 나누었을 때의 나머지를 라 하자. 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 유리함수      의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선을   라 하자. 곡선   의 두 점근선의 교점이 곡선    위의 점일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 수열  은   이고            ≥ ⋯⋯ ㉠ 을 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 에 대하여   ⋯      ⋯     ⋯⋯ ㉡ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ)  일 때, (좌변)   , (우변) ×   따라서 ㉡이 성립한다. (ⅱ)  일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면   ⋯      ⋯     이다. ㉠에서   가      가 ⋯      ⋯        나       ⋯        ⋯      ⋯     이다. 따라서   일 때도 ㉡이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ㉡이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, ×의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 좌표평면에서 두 점 A , B 을 직선    에 대하여 대칭이동한 점을 각각 A′, B′이라 하고, 두 직선 AB , A′B′ 의 교점을 P 라 하자. 두 삼각형 APA′ , BPB′ 의 넓이의 비가   일 때, 의 값은? (단,    ) [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(가형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 좌표평면에 두 원          ,           이 있다. 그림과 같이 축 위의 점 P 에서 원   에 그은 한 접선의 접점을 Q , 점 P 에서 원   에 그은 한 접선의 접점을 R 라 하자.  PQ  PR일 때, 점 P 의 좌표는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   20. 이차함수    에 대하여 곡선   의 꼭짓점을 A라 하고, 이 곡선이 축과 만나는 점을 B 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, O 는 원점이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.   일 때, OA   이다. ㄴ. 이 아닌 실수 의 값에 관계없이 곡선   가 항상 지나는 점은 개이다. ㄷ. 이 아닌 실수 의 값에 관계없이 직선 AB 는 항상 점  를 지난다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(가형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 점 A   을 지나고 기울기가 양수인 직선 이 원    과 두 점 P, Q 에서 만난다.  AP 일 때, 직선 의 기울기는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 모든 항이 양수인 등비수열  에서    ,    일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 23.  의 값을 구하시오. (단,     ) [3점] 수학 영역(가형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24.  , 에 대한 연립방정식         가 오직 한 쌍의 해   ,   를 가질 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [3점] 25. 두 수 , 가 다음 조건을 만족시킬 때,    의 값을 구하시오. [3점] (가) log     (나) loglog    26. 어느 고등학교의 학년 학생 명을 대상으로 문학 체험, 역사 체험, 과학 체험의 신청자 수를 조사한 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다. (가) 문학 체험을 신청한 학생은 명, 역사 체험을 신청한 학생은 명이다. (나) 문학 체험과 역사 체험을 모두 신청한 학생은 명이다. (다) 세 가지 체험 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 명이다. 과학 체험만 신청한 학생의 수를 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 통신 이론에서 가용 대역폭을  (Hz), 수신 신호 전력을  (W), 잡음 전력을  (W)이라고 할 때, 채널 용량  (bps)는 다음과 같은 관계식을 만족시킨다고 한다.    log      가용 대역폭이 일정하고, 수신 신호 전력이  W일 때, 잡음 전력을  W에서 (W )로 변경하였더니 채널 용량이 배가 되었다. 상수 의 값이    일 때,  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 등차수열  에서     ,     일 때, 집합      은 자연수의 모든 원소의 합을 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 수열 을 다음과 같이 정의하자. 집합     ≤ 에 대하여 ∈ 이면   이고, ∉ 이면   이다.        을 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오. [4점] 30. 좌표평면 위의 점 A  과 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 P 는 제사분면에 있다. (나) 축 위의 어떤 점 Q 에 대하여  AQ PQ≤ 이다. 위의 조건을 만족시키는 모든 점 P 가 나타내는 영역을  라 하자. 영역  에 속하는 점   에 대하여 의 최댓값이  일 때, 의 값을 구하시오. (단,  , 는 정수이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.